√6 को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए हम मान लेते हैं कि √6 = p/q, जहाँ p और q सहअभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण के अगले चरण में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होता है?

6, p और q दोनों को विभाजित करता है

6, p को विभाजित करता है पर q को नहीं

6, q को विभाजित करता है पर p को नहीं

6, p और q दोनों को विभाजित करता है

6, न तो p को न ही q को विभाजित करता है

यदि p एक अभाज्य संख्या है और p, a² को विभाजित करता है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?

p, a को विभाजित करता है

p, a को विभाजित नहीं करता

p, a को विभाजित करता है यदि a विषम है

p, a को विभाजित करता है

p, a को केवल तभी विभाजित करता है जब a सम हो

अभिकथन (A): 26 और 91 का HCF 13 है। कारण (R): 26 = 2 × 13 और 91 = 7 × 13, इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड 13 है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।

अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

√5 एक अपरिमेय संख्या है।

तीन बसें एक बस अड्डे से क्रमशः 30 मिनट, 45 मिनट और 60 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। यदि वे सुबह 6:00 बजे एक साथ चलना प्रारंभ करती हैं, तो अगली बार वे कितने बजे एक साथ चलेंगी? उस समय तक प्रत्येक बस कितनी बार चल चुकी होगी?

अगली बार 9:00 बजे चलेंगी। पहली बस 6 बार, दूसरी 4 बार, तीसरी 3 बार चलेगी।

बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए ज्ञात कीजिए कि परिमेय संख्या 987/10500 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।

दशमलव प्रसार सांत है।

यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि √p एक अपरिमेय संख्या है।

√p एक अपरिमेय संख्या है।

एक स्कूल में तीन घंटियाँ हैं जो क्रमशः 18 मिनट, 24 मिनट और 32 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। तीनों घंटियाँ सुबह 8:00 बजे एक साथ बजती हैं। विद्यार्थी यह जानना चाहते हैं कि वे पुनः एक साथ कब बजेंगी। (1) 18, 24 और 32 का LCM ज्ञात कीजिए। (2) वे तीनों घंटियाँ पुनः एक साथ कब बजेंगी?

तीनों घंटियाँ 288 मिनट बाद अर्थात दोपहर 12:48 बजे एक साथ बजेंगी।

कक्षा 10 गणित अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर

Q: अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM कैसे निकालें?

सबसे पहले दी गई संख्याओं को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। HCF के लिए, सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल लें। LCM के लिए, सभी संख्याओं में उपस्थित सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल लें।

Q: किसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध करने की मानक विधि क्या है?

मान लीजिए कि संख्या परिमेय है, अर्थात उसे p/q के रूप में लिख सकते हैं जहाँ p, q सहअभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0। फिर इस धारणा का प्रयोग करते हुए समीकरण को सरल करें और इस निष्कर्ष पर पहुँचे कि p और q दोनों किसी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने की शर्त का खंडन करता है। अतः हमारी कल्पना गलत है और संख्या अपरिमेय है।

CBSE· 44+ मौलिक प्रश्न तैयारView in English

उत्तर सहित महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्नों का अभ्यास करें, CBSE अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट देखें, या पूरा नमूना प्रश्नपत्र बनाएँ — मुफ़्त, 2026-27 के लिए।

qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026

संक्षेप में उत्तर

हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 10 गणित अध्याय 1 (“वास्तविक संख्याएँ”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।

कक्षा 10 गणित का पहला अध्याय 'वास्तविक संख्याएँ' संख्या प्रणाली की समझ को और गहराई तक ले जाता है। यह दो महत्वपूर्ण प्रमेयों पर आधारित है: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म की सहायता से आप दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जिसका प्रयोग करके संख्याओं के HCF और LCM भी निकाले जा सकते हैं।

इस अध्याय में अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा और उन्हें सिद्ध करने की विधि पर विशेष ध्यान दिया जाता है। जैसे, √2, √3, √5 या 7–√2 जैसी संख्याओं को अपरिमेय सिद्ध करना एक मानक प्रश्न है। इसके अतिरिक्त, परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार (सांत या असांत आवर्ती) का भी अध्ययन किया जाता है।

परीक्षा में इस अध्याय से विभिन्न प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं: HCF और LCM पर आधारित शाब्दिक प्रश्न (जैसे, खेत में टाइलें लगाना, बराबर के समूह बनाना), यूक्लिड एल्गोरिथ्म से HCF निकालना, अभाज्य गुणनखंडन से HCF और LCM ज्ञात करना, तथा HCF व LCM के संबंध का उपयोग करके अज्ञात संख्या ज्ञात करना। अपरिमेयता सिद्ध करने वाले प्रश्न लगभग हर वर्ष आते हैं। इसलिए, इन सभी अवधारणाओं पर पकड़ बनाना आवश्यक है।

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अध्याय चुनें, अपना ब्लूप्रिंट व अंक-विभाजन तय करें, और उत्तर-कुंजी सहित प्रिंट-तैयार PDF या एडिटेबल Word निर्यात करें। बनाना मुफ़्त है।

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गणित — वास्तविक संख्याएँ

कक्षा 10समय: 3 घंटेअधिकतम अंक: 80

खंड क

1.
140 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है?
(a) 2² × 5 × 7(b) 2² × 5² × 7(c) 2 × 5 × 7(d) 2² × 5 × 14
1
2.
√6 को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए हम मान लेते हैं कि √6 = p/q, जहाँ p और q सहअभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण के अगले चरण में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होता है?
(a) 6, p को विभाजित करता है पर q को नहीं(b) 6, q को विभाजित करता है पर p को नहीं(c) 6, p और q दोनों को विभाजित करता है(d) 6, न तो p को न ही q को विभाजित करता है
1
3.
दो संख्याओं का HCF 22 है और LCM 264 है। यदि इनमें से एक संख्या 66 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
(a) 88(b) 44(c) 22(d) 132
1

पूरे पेपर में 41 और प्रश्न

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अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट

CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:

प्रश्न प्रकार	प्रति अंक	हमारे बैंक में
बहुविकल्पीय (MCQ)	1 अंक	13
अभिकथन–कारण	1 अंक	6
लघु उत्तरीय	2 अंक	8
लघु उत्तरीय	3 अंक	6
दीर्घ उत्तरीय	5 अंक	5
केस स्टडी	4 अंक	6

इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।

महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)

अभ्यास व पुनरावृत्ति के लिए असली, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — हर प्रश्न उत्तर सहित। असीमित प्रश्नों के लिए पूरा प्रश्नपत्र बनाएँ।

Q1. 140 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 2² × 5 × 7(B) 2² × 5² × 7(C) 2 × 5 × 7(D) 2² × 5 × 14
▸ उत्तर▾ उत्तर
2² × 5 × 7
Q2. √6 को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए हम मान लेते हैं कि √6 = p/q, जहाँ p और q सहअभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण के अगले चरण में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होता है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 6, p को विभाजित करता है पर q को नहीं(B) 6, q को विभाजित करता है पर p को नहीं(C) 6, p और q दोनों को विभाजित करता है(D) 6, न तो p को न ही q को विभाजित करता है
▸ उत्तर▾ उत्तर
6, p और q दोनों को विभाजित करता है
Q3. दो संख्याओं का HCF 22 है और LCM 264 है। यदि इनमें से एक संख्या 66 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 88(B) 44(C) 22(D) 132
▸ उत्तर▾ उत्तर
88
Q4. यदि p एक अभाज्य संख्या है और p, a² को विभाजित करता है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) p, a को विभाजित नहीं करता(B) p, a को विभाजित करता है यदि a विषम है(C) p, a को विभाजित करता है(D) p, a को केवल तभी विभाजित करता है जब a सम हो
▸ उत्तर▾ उत्तर
p, a को विभाजित करता है
Q5. अभिकथन (A): 26 और 91 का HCF 13 है। कारण (R): 26 = 2 × 13 और 91 = 7 × 13, इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड 13 है।
1 अंक
अभिकथन–कारण
(A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
▸ उत्तर▾ उत्तर
अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।
Q6. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
√5 एक अपरिमेय संख्या है।
Q7. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 2053 और 967 को विभाजित करने पर क्रमशः 5 और 7 शेषफल देती है।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
64
Q8. तीन बसें एक बस अड्डे से क्रमशः 30 मिनट, 45 मिनट और 60 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। यदि वे सुबह 6:00 बजे एक साथ चलना प्रारंभ करती हैं, तो अगली बार वे कितने बजे एक साथ चलेंगी? उस समय तक प्रत्येक बस कितनी बार चल चुकी होगी?
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
अगली बार 9:00 बजे चलेंगी। पहली बस 6 बार, दूसरी 4 बार, तीसरी 3 बार चलेगी।
Q9. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर 130 और 182 का म.स. (HCF) ज्ञात कीजिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
HCF = 26
Q10. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए ज्ञात कीजिए कि परिमेय संख्या 987/10500 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
दशमलव प्रसार सांत है।
Q11. यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि √p एक अपरिमेय संख्या है।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
√p एक अपरिमेय संख्या है।
Q12. एक स्कूल में तीन घंटियाँ हैं जो क्रमशः 18 मिनट, 24 मिनट और 32 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। तीनों घंटियाँ सुबह 8:00 बजे एक साथ बजती हैं। विद्यार्थी यह जानना चाहते हैं कि वे पुनः एक साथ कब बजेंगी।
4 अंक
केस स्टडी
1. (i) 18, 24 और 32 का LCM ज्ञात कीजिए।2 अंक
2. (ii) वे तीनों घंटियाँ पुनः एक साथ कब बजेंगी?2 अंक
▸ उत्तर▾ उत्तर
तीनों घंटियाँ 288 मिनट बाद अर्थात दोपहर 12:48 बजे एक साथ बजेंगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका क्या है और इसका उपयोग HCF ज्ञात करने में कैसे किया जाता है?

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार, दो धनात्मक पूर्णांकों a और b (a > b) के लिए a = bq + r के रूप में अद्वितीय पूर्णांक q और r ज्ञात किए जा सकते हैं, जहाँ 0 ≤ r < b। HCF ज्ञात करने के लिए, बार-बार इस प्रक्रिया को भाज्य और शेषफल के साथ दोहराया जाता है जब तक शेषफल 0 न आ जाए। अंतिम अशून्य शेषफल वांछित HCF होता है।

अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM कैसे निकालें?