यदि दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी क्या होगी?

उनकी त्रिज्याओं का योग

उनकी त्रिज्याओं का अंतर

उनकी त्रिज्याओं का योग

उनकी त्रिज्याओं का गुणनफल

उनकी त्रिज्याओं के अंतर का दोगुना

वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को ________।

दो बिंदुओं पर काटती है

केंद्र से होकर गुजरती है

जीवा को समद्विभाजित करती है

केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। OP, वृत्त को बिंदु C पर काटती है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

OP, ∠APB को समद्विभाजित करती है

AC का मान PA के बराबर होता है

AB, OP को समद्विभाजित करती है

OP, ∠APB को समद्विभाजित करती है

अभिकथन (A): एक बाह्य बिंदु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं को, P से होकर जाने वाली कोई भी रेखा समान अनुपात में विभाजित करती है। कारण (R): स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।

अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की एक जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रमाण सहित।

वृत्त की स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच क्या संबंध है? संक्षेप में लिखिए।

स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

जीवा की लंबाई = 8 सेमी

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की एक जीवा, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, की लंबाई ज्ञात कीजिए।

जीवा की लंबाई 8 सेमी है।

केंद्र O वाले एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं जो वृत्त को क्रमशः A और B पर स्पर्श करती हैं। OP की दूरी 13 सेमी है। (1) स्पर्श रेखा PA की लंबाई ज्ञात कीजिए। (2) चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (3) जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।

(a) 12 सेमी, (b) 60 वर्ग सेमी, (c) 120/13 सेमी

कक्षा 10 गणित अध्याय 10: वृत्त — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर

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qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026

संक्षेप में उत्तर

हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 10 गणित अध्याय 10 (“वृत्त”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।

कक्षा 10 गणित के अध्याय 10 'वृत्त' में मुख्य रूप से स्पर्श रेखाओं और उनसे जुड़े गुणों का अध्ययन किया जाता है। एक स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इस अध्याय के दो आधारभूत प्रमेय हैं: (i) स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है; (ii) किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। इन्हीं प्रमेयों के आधार पर अनेक प्रश्न पूछे जाते हैं। उदाहरण के लिए, बाह्य बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग होता है। कभी-कभी संकेंद्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, तो सिद्ध करना होता है कि स्पर्श बिंदु जीवा को समद्विभाजित करता है। वृत्त के परिगत चतुर्भुजों में आमने-सामने की भुजाओं का योग बराबर होता है, इसका उपयोग अज्ञात भुजा ज्ञात करने में किया जाता है। परीक्षा में आपको स्पर्श रेखा की लंबाई निकालने, प्रमेय सिद्ध करने और ज्यामितीय संबंधों पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्न मिल सकते हैं। इस अध्याय के लिए स्पष्ट चित्रण और प्रमेयों की समझ आवश्यक है। qpaper.in पर आपको इस अध्याय के विविध प्रश्नों का अभ्यास करने का अवसर मिलेगा।

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गणित — वृत्त

कक्षा 10समय: 3 घंटेअधिकतम अंक: 80

खंड क

1.
एक वृत्त की त्रिज्या 8 सेमी है और इसके केंद्र से 17 सेमी दूर एक बिंदु A है। A से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई होगी:
(a) 9 सेमी(b) 15 सेमी(c) 20 सेमी(d) 25 सेमी
1
2.
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी क्या होगी?
(a) उनकी त्रिज्याओं का अंतर(b) उनकी त्रिज्याओं का योग(c) उनकी त्रिज्याओं का गुणनफल(d) उनकी त्रिज्याओं के अंतर का दोगुना
1
3.
वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को ________।
(a) दो बिंदुओं पर काटती है(b) एक बिंदु पर स्पर्श करती है(c) केंद्र से होकर गुजरती है(d) जीवा को समद्विभाजित करती है
1

पूरे पेपर में 41 और प्रश्न

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अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट

CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:

प्रश्न प्रकार	प्रति अंक	हमारे बैंक में
बहुविकल्पीय (MCQ)	1 अंक	13
अभिकथन–कारण	1 अंक	6
लघु उत्तरीय	2 अंक	8
लघु उत्तरीय	3 अंक	6
दीर्घ उत्तरीय	5 अंक	5
केस स्टडी	4 अंक	6

इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।

महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)

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Q1. एक वृत्त की त्रिज्या 8 सेमी है और इसके केंद्र से 17 सेमी दूर एक बिंदु A है। A से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई होगी:
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 9 सेमी(B) 15 सेमी(C) 20 सेमी(D) 25 सेमी
▸ उत्तर▾ उत्तर
15 सेमी
Q2. यदि दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी क्या होगी?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) उनकी त्रिज्याओं का अंतर(B) उनकी त्रिज्याओं का योग(C) उनकी त्रिज्याओं का गुणनफल(D) उनकी त्रिज्याओं के अंतर का दोगुना
▸ उत्तर▾ उत्तर
उनकी त्रिज्याओं का योग
Q3. वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को ________।
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) दो बिंदुओं पर काटती है(B) एक बिंदु पर स्पर्श करती है(C) केंद्र से होकर गुजरती है(D) जीवा को समद्विभाजित करती है
▸ उत्तर▾ उत्तर
एक बिंदु पर स्पर्श करती है
Q4. केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। OP, वृत्त को बिंदु C पर काटती है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) AC का मान PA के बराबर होता है(B) AB, OP को समद्विभाजित करती है(C) OP, ∠APB को समद्विभाजित करती है(D) ∠APB = ∠AOB
▸ उत्तर▾ उत्तर
OP, ∠APB को समद्विभाजित करती है
Q5. अभिकथन (A): एक बाह्य बिंदु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं को, P से होकर जाने वाली कोई भी रेखा समान अनुपात में विभाजित करती है। कारण (R): स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
1 अंक
अभिकथन–कारण
(A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
▸ उत्तर▾ उत्तर
अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
Q6. दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की एक जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु जीवा को समद्विभाजित करता है।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
प्रमाण सहित।
Q7. वृत्त की स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच क्या संबंध है? संक्षेप में लिखिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
Q8. दिए गए चित्र में, O केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है और OP = 5 सेमी है। PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
AB = 4.8 सेमी
Q9. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
जीवा की लंबाई = 8 सेमी
Q10. दिए गए चित्र में, O केंद्र वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं। ∠AOB = 120° तथा OP = 12 सेमी है। PA और PB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
PA = PB = 6√3 सेमी
Q11. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की एक जीवा, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, की लंबाई ज्ञात कीजिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
जीवा की लंबाई 8 सेमी है।
Q12. केंद्र O वाले एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं जो वृत्त को क्रमशः A और B पर स्पर्श करती हैं। OP की दूरी 13 सेमी है।
4 अंक
केस स्टडी
1. (i) स्पर्श रेखा PA की लंबाई ज्ञात कीजिए।1 अंक
2. (ii) चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।1 अंक
3. (iii) जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।2 अंक
▸ उत्तर▾ उत्तर
(a) 12 सेमी, (b) 60 वर्ग सेमी, (c) 120/13 सेमी

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

वृत्त की स्पर्श रेखा किसे कहते हैं?

एक स्पर्श रेखा एक ऐसी सीधी रेखा होती है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है और वृत्त के अंदर प्रवेश नहीं करती। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।

बाह्य बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई कैसे ज्ञात करते हैं?

यदि O केंद्र हो, r त्रिज्या, बाह्य बिंदु P से दूरी OP = d, तो स्पर्श रेखा PA की लंबाई l = √(d² − r²) होती है (पाइथागोरस प्रमेय से)।

"किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं" इस प्रमेय को कैसे सिद्ध करें?

बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींचिए। OA और OB त्रिज्याएँ खींचने पर, त्रिभुज OAP और OBP में OA=OB (त्रिज्या), ∠OAP=∠OBP=90°, OP उभयनिष्ठ। अतः ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS), इसलिए PA=PB।

वृत्त के परिगत चतुर्भुज की क्या विशेषता होती है?

किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाओं का योग बराबर होता है, अर्थात् AB + CD = BC + AD। इस गुण का उपयोग अज्ञात भुजा ज्ञात करने में किया जाता है।

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

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