अभिकथन (A): जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° होता है, तो एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई, खंभे की ऊँचाई के बराबर होती है। कारण (R): tan 30° = 1/√3 होता है।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।

अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

दो इमारतें एक-दूसरे से 20√3 मीटर की दूरी पर स्थित हैं। छोटी इमारत के शीर्ष से, बड़ी इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° तथा आधार का अवनमन कोण 45° है। बड़ी इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

बड़ी इमारत की ऊँचाई = 20(√3 + 1) मीटर

एक मीनार के शीर्ष से, जमीन पर दो बिंदुओं के अवनमन कोण, जो मीनार के एक ही ओर स्थित हैं, क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है, तो दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी = 50(√3 - 1) मीटर

समुद्र तट पर स्थित एक प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई अज्ञात है। प्रकाश स्तंभ के शीर्ष से, समुद्र में एक जहाज का अवनमन कोण 30° है। प्रकाश स्तंभ के आधार से 20 मीटर ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की से उसी जहाज का अवनमन कोण 15° है। (जहाज प्रकाश स्तंभ की सीध में बहुत दूर समुद्र में है और पृथ्वी की वक्रता को नगण्य माना गया है।) (1) जहाज की प्रकाश स्तंभ के आधार से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए। (2) प्रकाश स्तंभ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

(i) 20(2+√3) मीटर (ii) 20(1+2/√3) मीटर

कक्षा 10 गणित अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर

CBSE· 44+ मौलिक प्रश्न तैयारView in English

उत्तर सहित महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्नों का अभ्यास करें, CBSE अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट देखें, या पूरा नमूना प्रश्नपत्र बनाएँ — मुफ़्त, 2026-27 के लिए।

qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026

संक्षेप में उत्तर

हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 10 गणित अध्याय 9 (“त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।

कक्षा 10 गणित का अध्याय 9, 'त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग', त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan) का उपयोग करके ऊँचाई और दूरी से संबंधित वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करना सिखाता है। यह अध्याय पूर्णतः अनुप्रयोग आधारित है, जहाँ छात्र पिछले अध्याय में सीखे गए त्रिकोणमितीय सूत्रों और मानक कोणों (30°, 45°, 60°, 90°) के मानों का प्रयोग करते हैं। मुख्य अवधारणाएँ हैं: उन्नयन कोण और अवनमन कोण। उन्नयन कोण वह कोण है जो वस्तु को नीचे से ऊपर की ओर देखने पर दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है, जबकि अवनमन कोण तब बनता है जब हम किसी वस्तु को ऊपर से नीचे की ओर देखते हैं। किसी भी प्रश्न को हल करने का पहला चरण एक स्पष्ट और लेबल युक्त चित्र बनाना है, जिसमें दी गई मापों और अज्ञात मापों को दर्शाया जाए। आमतौर पर, समस्या में एक या दो समकोण त्रिभुज शामिल होते हैं। फिर, उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात (प्रायः tan, क्योंकि यह लंब और आधार को जोड़ता है) का चुनाव करके और आवश्यकतानुसार एक या दो चरों वाले समीकरण बनाकर अज्ञात मान ज्ञात किया जाता है। परीक्षा में इस अध्याय से अनेक प्रकार के प्रश्न आते हैं: मीनार और उस पर झंडे की ऊँचाई, प्लेटफॉर्म से खंभे की ऊँचाई, दीवार से टिकी सीढ़ी की लंबाई, सूर्य के कोण बदलने पर छाया की लंबाई में अंतर, पुल से नदी की चौड़ाई, झील में बादल और उसके प्रतिबिंब से ऊँचाई, प्रकाश स्तंभ से जहाजों की दूरी, आदि। इन प्रश्नों में कभी-कभी एक ही वस्तु के लिए दो भिन्न प्रेक्षण बिंदु होते हैं, जिससे दो समीकरण बनते हैं। छात्रों को मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मान (जैसे tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3) भली-भाँति याद होने चाहिए। नियमित अभ्यास से इस अध्याय के प्रश्न बहुत सरल और स्कोरिंग हो जाते हैं।

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गणित — त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

कक्षा 10समय: 3 घंटेअधिकतम अंक: 80

खंड क

1.
एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई खंभे की ऊंचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण कितना है?
(a) 30°(b) 45°(c) 60°(d) 90°
1
2.
एक 10 मीटर ऊँचे प्लेटफॉर्म के शीर्ष से, एक खंभे के आधार का अवनमन कोण 60° और खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(a) 10/3 मी(b) 20/3 मी(c) 40/3 मी(d) 50/3 मी
1
3.
एक मीनार के आधार से 30 मीटर दूर स्थित एक बिंदु पर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(a) 30 मी(b) 30√3 मी(c) 10√3 मी(d) 60 मी
1

पूरे पेपर में 41 और प्रश्न

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अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट

CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:

प्रश्न प्रकार	प्रति अंक	हमारे बैंक में
बहुविकल्पीय (MCQ)	1 अंक	13
अभिकथन–कारण	1 अंक	6
लघु उत्तरीय	2 अंक	8
लघु उत्तरीय	3 अंक	6
दीर्घ उत्तरीय	5 अंक	5
केस स्टडी	4 अंक	6

इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।

महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)

अभ्यास व पुनरावृत्ति के लिए असली, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — हर प्रश्न उत्तर सहित। असीमित प्रश्नों के लिए पूरा प्रश्नपत्र बनाएँ।

Q1. एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई खंभे की ऊंचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण कितना है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 90°
▸ उत्तर▾ उत्तर
(B) 45°
Q2. एक 10 मीटर ऊँचे प्लेटफॉर्म के शीर्ष से, एक खंभे के आधार का अवनमन कोण 60° और खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 10/3 मी(B) 20/3 मी(C) 40/3 मी(D) 50/3 मी
▸ उत्तर▾ उत्तर
(C) 40/3 मी
Q3. एक मीनार के आधार से 30 मीटर दूर स्थित एक बिंदु पर मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 30 मी(B) 30√3 मी(C) 10√3 मी(D) 60 मी
▸ उत्तर▾ उत्तर
(B) 30√3 मी
Q4. एक ऊर्ध्वाधर मीनार की छाया उस समय 30 मीटर अधिक होती है जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° होता है, अपेक्षाकृत जब कोण 60° होता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 15√3 मी(B) 30√3 मी(C) 45√3 मी(D) 60√3 मी
▸ उत्तर▾ उत्तर
(A) 15√3 मी
Q5. अभिकथन (A): जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° होता है, तो एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई, खंभे की ऊँचाई के बराबर होती है। कारण (R): tan 30° = 1/√3 होता है।
1 अंक
अभिकथन–कारण
(A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
▸ उत्तर▾ उत्तर
अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
Q6. भूमि पर स्थित एक बिंदु से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ओर 20 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
10√3 मीटर
Q7. एक बिजली के खंभे की छाया की लंबाई, खंभे की ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
45°
Q8. एक हवाई जहाज एक ही ऊंचाई पर उड़ते हुए एक सीधी क्षैतिज सड़क के ऊपर लंबवत उड़ रहा है। सड़क पर जहाज की परस्पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो क्रमागत किलोमीटर पत्थरों के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 30° हैं। हवाई जहाज की ऊंचाई मीटर में ज्ञात कीजिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
500(√3 - 1) मीटर
Q9. एक झील के ऊपर 60 मीटर ऊंचे एक बिंदु से एक बादल का उन्नयन कोण 30° है तथा झील में उसके प्रतिबिंब का अवनमन कोण 60° है। झील की सतह से बादल की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
120 मीटर
Q10. दो इमारतें एक-दूसरे से 20√3 मीटर की दूरी पर स्थित हैं। छोटी इमारत के शीर्ष से, बड़ी इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° तथा आधार का अवनमन कोण 45° है। बड़ी इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
बड़ी इमारत की ऊँचाई = 20(√3 + 1) मीटर
Q11. एक मीनार के शीर्ष से, जमीन पर दो बिंदुओं के अवनमन कोण, जो मीनार के एक ही ओर स्थित हैं, क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है, तो दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी = 50(√3 - 1) मीटर
Q12. समुद्र तट पर स्थित एक प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई अज्ञात है। प्रकाश स्तंभ के शीर्ष से, समुद्र में एक जहाज का अवनमन कोण 30° है। प्रकाश स्तंभ के आधार से 20 मीटर ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की से उसी जहाज का अवनमन कोण 15° है। (जहाज प्रकाश स्तंभ की सीध में बहुत दूर समुद्र में है और पृथ्वी की वक्रता को नगण्य माना गया है।)
4 अंक
केस स्टडी
1. (i) जहाज की प्रकाश स्तंभ के आधार से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।2 अंक
2. (ii) प्रकाश स्तंभ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।2 अंक
▸ उत्तर▾ उत्तर
(i) 20(2+√3) मीटर (ii) 20(1+2/√3) मीटर

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या इस अध्याय में केवल tan का ही उपयोग होता है?

नहीं, हालांकि अधिकांश प्रश्नों में tan सर्वाधिक उपयोगी होता है, कभी-कभी sin या cos का भी प्रयोग हो सकता है, विशेषकर जब कर्ण दिया गया हो या मांगा गया हो। लेकिन परीक्षा में अधिकतर प्रश्न tan से हल हो जाते हैं।

चित्र बनाना कितना अनिवार्य है?

चित्र बनाना अत्यंत महत्वपूर्ण है। बिना सही चित्र के, कोणों और दूरियों का संबंध समझना कठिन हो सकता है। CBSE बोर्ड परीक्षा में भी चित्र के लिए अंक दिए जाते हैं।

इस अध्याय से परीक्षा में कितने अंकों के प्रश्न आ सकते हैं?

आमतौर पर, इस अध्याय से 3-4 अंकों का एक प्रश्न आता है। यह प्रश्न अक्सर एक केस स्टडी या दो अज्ञातों वाली लंबी शब्द समस्या हो सकती है।

बादल और उसके प्रतिबिंब वाले प्रश्न को कैसे हल करें?

इसमें, बादल की ऊँचाई मान लें और झील में प्रतिबिंब की ऊँचाई जल स्तर से उतनी ही नीचे होती है। दो समकोण त्रिभुज बनाएँ—एक बादल के लिए उन्नयन कोण और दूसरा प्रतिबिंब के लिए अवनमन कोण का। फिर दोनों स्थितियों के लिए tan के सूत्र लिखकर समीकरण बनाएँ और हल करें।

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

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