अभिकथन (A): एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है और उसका क्षेत्रफल 60 वर्ग मीटर है। तब आयत की लंबाई 10 मीटर है। कारण (R): यदि चौड़ाई x मानें, तो लंबाई x+4 और क्षेत्रफल x(x+4)=60 ⇒ x^2+4x-60=0, जिसके हल x=6 (चौड़ाई) और x=-10 (अमान्य) हैं, अतः लंबाई 10 मीटर।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।

अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

समीकरण 3x(x + 2) = 5 को मानक रूप में व्यक्त कर a, b तथा c के मान लिखिए।

3x² + 6x – 5 = 0; a = 3, b = 6, c = –5

एक कार 300 किमी की दूरी एक नियत चाल से तय करती है। यदि चाल 10 किमी/घंटा बढ़ा दी जाए, तो यात्रा का समय 1 घंटा कम हो जाता है। कार की वास्तविक चाल ज्ञात कीजिए।

वास्तविक चाल 50 किमी/घंटा है।

दो अंकों की एक संख्या में अंकों का गुणनफल 18 है। यदि संख्या में से 27 घटा दिया जाए, तो अंक अपना स्थान बदल लेते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।

संख्या 63 है।

एक 40 मीटर लंबे और 30 मीटर चौड़े आयताकार पार्क के चारों ओर एकसमान चौड़ाई का रास्ता बना हुआ है। इस रास्ते का कुल क्षेत्रफल 296 वर्ग मीटर है। (1) रास्ते की चौड़ाई x मीटर मानते हुए, रास्ते के क्षेत्रफल के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त कीजिए। (2) रास्ते की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

a) x^2 + 35x – 74 = 0, b) 2 मीटर

कक्षा 10 गणित अध्याय 4: द्विघात समीकरण — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर

Q: द्विघात समीकरण को हल करने की कितनी विधियाँ हैं और परीक्षा में कौन सी अधिक पूछी जाती है?

मुख्यतः तीन विधियाँ: गुणनखंड (मध्य पद तोड़ना), पूर्ण वर्ग बनाना, और द्विघात सूत्र। परीक्षा में गुणनखंड और द्विघात सूत्र से हल करने के प्रश्न सबसे अधिक पूछे जाते हैं।

Q: क्या परीक्षा में शब्द समस्याओं से द्विघात समीकरण बनाने के प्रश्न आते हैं? उदाहरण दीजिए।

हाँ, बोर्ड परीक्षा में प्रायः चाल-समय-दूरी, नाव और धारा, आयु संबंधी, या क्षेत्रफल पर आधारित शब्द समस्याएँ पूछी जाती हैं। उदाहरण: एक कार 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि चाल 6 किमी/घंटा बढ़ा दी जाए तो 2 घंटे कम लगते हैं। मूल चाल ज्ञात कीजिए।

CBSE· 44+ मौलिक प्रश्न तैयारView in English

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qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026

संक्षेप में उत्तर

हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 10 गणित अध्याय 4 (“द्विघात समीकरण”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।

कक्षा 10 गणित का अध्याय 4 'द्विघात समीकरण' बीजगणित का एक महत्वपूर्ण भाग है। इसमें छात्र द्विघात समीकरणों की पहचान, उनका मानक रूप ax² + bx + c = 0 (जहाँ a ≠ 0), तथा उन्हें हल करने की विभिन्न विधियाँ सीखते हैं। मुख्य विधियाँ हैं – गुणनखंड (मध्य पद को तोड़कर), पूर्ण वर्ग बनाकर, तथा द्विघात सूत्र x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a। विविक्तकर (b² − 4ac) मूलों की प्रकृति बताता है – यदि यह धनात्मक हो तो दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य हो तो दो बराबर वास्तविक मूल, और ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं होते। इस अध्याय में दैनिक जीवन से जुड़ी शब्द समस्याएँ भी आती हैं, जैसे चाल, समय, दूरी, आयु, क्षेत्रफल आदि। परीक्षा में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों में शामिल हैं: यह जाँचना कि दिया गया समीकरण द्विघात है या नहीं, दिए गए मूलों से द्विघात समीकरण बनाना, विविक्तकर के आधार पर मूलों की प्रकृति बताना, k का मान ज्ञात करना जब मूलों पर कोई प्रतिबंध दिया हो (जैसे मूल बराबर हों या मूलों का योग व गुणनफल में संबंध हो), तथा शब्द समस्याओं को द्विघात समीकरण में बदलकर हल करना। सही अभ्यास से यह अध्याय न केवल अंक दिलाने वाला है, बल्कि उच्च कक्षाओं के बीजगणित की नींव भी रखता है।

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गणित — द्विघात समीकरण

कक्षा 10समय: 3 घंटेअधिकतम अंक: 80

खंड क

1.
समीकरण x^2 - 5x + 6 = 0 के मूलों में से एक कौन सा है?
(a) 3(b) 4(c) 5(d) 6
1
2.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है। वे पूर्णांक हैं:
(a) 12 और 13(b) 13 और 14(c) 14 और 15(d) 15 और 16
1
3.
द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 का विविक्तकर क्या होता है?
(a) b^2 - 4ac(b) b^2 + 4ac(c) 2b - 4ac(d) 4ac - b^2
1

पूरे पेपर में 41 और प्रश्न

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अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट

CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:

प्रश्न प्रकार	प्रति अंक	हमारे बैंक में
बहुविकल्पीय (MCQ)	1 अंक	13
अभिकथन–कारण	1 अंक	6
लघु उत्तरीय	2 अंक	8
लघु उत्तरीय	3 अंक	6
दीर्घ उत्तरीय	5 अंक	5
केस स्टडी	4 अंक	6

इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।

महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)

अभ्यास व पुनरावृत्ति के लिए असली, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — हर प्रश्न उत्तर सहित। असीमित प्रश्नों के लिए पूरा प्रश्नपत्र बनाएँ।

Q1. समीकरण x^2 - 5x + 6 = 0 के मूलों में से एक कौन सा है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6
▸ उत्तर▾ उत्तर
3
Q2. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है। वे पूर्णांक हैं:
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 12 और 13(B) 13 और 14(C) 14 और 15(D) 15 और 16
▸ उत्तर▾ उत्तर
13 और 14
Q3. द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 का विविक्तकर क्या होता है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) b^2 - 4ac(B) b^2 + 4ac(C) 2b - 4ac(D) 4ac - b^2
▸ उत्तर▾ उत्तर
b^2 - 4ac
Q4. यदि समीकरण x^2 - (k+6)x + 2(2k-1) = 0 के मूलों का योग उनके गुणनफल का आधा है, तो k का मान है:
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 7(B) 5(C) 6(D) 8
▸ उत्तर▾ उत्तर
7
Q5. अभिकथन (A): एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है और उसका क्षेत्रफल 60 वर्ग मीटर है। तब आयत की लंबाई 10 मीटर है। कारण (R): यदि चौड़ाई x मानें, तो लंबाई x+4 और क्षेत्रफल x(x+4)=60 ⇒ x^2+4x-60=0, जिसके हल x=6 (चौड़ाई) और x=-10 (अमान्य) हैं, अतः लंबाई 10 मीटर।
1 अंक
अभिकथन–कारण
(A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
▸ उत्तर▾ उत्तर
अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।
Q6. द्विघात समीकरण $x^2-9=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
$x=3, x=-3$
Q7. क्या समीकरण $x(x+3)+7=(x+1)(x+2)$ एक द्विघात समीकरण है? कारण सहित उत्तर दीजिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
नहीं।
Q8. समीकरण 3x(x + 2) = 5 को मानक रूप में व्यक्त कर a, b तथा c के मान लिखिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
3x² + 6x – 5 = 0; a = 3, b = 6, c = –5
Q9. द्विघात समीकरण x² – 5x + 6 = 0 को गुणनखंड विधि से हल कीजिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
x = 2 और x = 3
Q10. एक कार 300 किमी की दूरी एक नियत चाल से तय करती है। यदि चाल 10 किमी/घंटा बढ़ा दी जाए, तो यात्रा का समय 1 घंटा कम हो जाता है। कार की वास्तविक चाल ज्ञात कीजिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
वास्तविक चाल 50 किमी/घंटा है।
Q11. दो अंकों की एक संख्या में अंकों का गुणनफल 18 है। यदि संख्या में से 27 घटा दिया जाए, तो अंक अपना स्थान बदल लेते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
संख्या 63 है।
Q12. एक 40 मीटर लंबे और 30 मीटर चौड़े आयताकार पार्क के चारों ओर एकसमान चौड़ाई का रास्ता बना हुआ है। इस रास्ते का कुल क्षेत्रफल 296 वर्ग मीटर है।
4 अंक
केस स्टडी
1. (i) रास्ते की चौड़ाई x मीटर मानते हुए, रास्ते के क्षेत्रफल के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त कीजिए।2 अंक
2. (ii) रास्ते की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।2 अंक
▸ उत्तर▾ उत्तर
a) x^2 + 35x – 74 = 0, b) 2 मीटर

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या होता है?

कोई भी समीकरण जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0, द्विघात समीकरण कहलाता है।

विविक्तकर क्या है और इसका क्या महत्व है?

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। यह मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, और D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।

द्विघात समीकरण को हल करने की कितनी विधियाँ हैं और परीक्षा में कौन सी अधिक पूछी जाती है?