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कक्षा 10 गणित अध्याय 3: दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर

CBSE· 44+ मौलिक प्रश्न तैयारView in English

उत्तर सहित महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्नों का अभ्यास करें, CBSE अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट देखें, या पूरा नमूना प्रश्नपत्र बनाएँ — मुफ़्त, 2026-27 के लिए।

qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026

संक्षेप में उत्तर

हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 10 गणित अध्याय 3 (“दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।

कक्षा 10 गणित का अध्याय 3 'दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म' बीजगणित की आधारशिला है। इसमें दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने की विभिन्न विधियाँ सिखाई जाती हैं। प्रमुख रूप से, ग्राफीय विधि द्वारा हम समीकरणों को निरूपित करके देखते हैं कि उनके ग्राफ प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती रेखाएँ हैं। इसी से युग्म के संगत/असंगत और अद्वितीय/अनन्त/कोई हल न होने की अवधारणा समझाई जाती है। बीजगणितीय विधियों में प्रतिस्थापन, विलोपन और वज्रगुणन शामिल हैं। वज्रगुणन में, रैखिक समीकरणों के युग्म a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के लिए सूत्र का प्रयोग सीधा हल देता है। इस अध्याय में समीकरणों के युग्म को रैखिक रूप में बदलकर हल करने की तकनीक भी आती है, जैसे 1/(x+y) या 1/(2x−3) वाले प्रश्न। परीक्षा की दृष्टि से, इस अध्याय से शब्द समस्याएँ महत्वपूर्ण हैं, जो आयु, चाल-दूरी-समय, नाव और धारा, गाड़ी यात्रा, संख्याएँ तथा ज्यामितीय स्थितियों पर आधारित होती हैं। बहुविकल्पीय प्रश्नों में गुणांक अनुपातों a1/a2, b1/b2, c1/c2 के आधार पर हलों की प्रकृति पूछी जाती है। अतः इस पाठ की गहरी समझ न केवल परीक्षा के लिए अपितु उच्च कक्षाओं के रैखिक बीजगणित के लिए भी अनिवार्य है।

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गणित — दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म

कक्षा 10समय: 3 घंटेअधिकतम अंक: 80

खंड क

  1. 1.

    एक भिन्न के अंश में से 1 घटाने पर वह 1/3 हो जाती है और हर में 8 जोड़ने पर 1/4 हो जाती है। अंश का मान है:

    (a) 5(b) 12(c) 3(d) 4
    1
  2. 2.

    यदि समीकरण युग्म (a-1)x + 3y = 5 और 6x + (2-b)y = 10 के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, तब (a+b) का मान है:

    (a) 0(b) 4(c) -4(d) 8
    1
  3. 3.

    एक व्यक्ति 600 km की दूरी आंशिक रूप से रेलगाड़ी और शेष कार से तय करता है। यदि वह 400 km रेल से और 200 km कार से यात्रा करे तो उसे 6½ घंटे लगते हैं। यदि वह 200 km रेल से और 400 km कार से यात्रा करे तो उसे आधा घंटा अधिक लगता है। रेलगाड़ी की चाल (km/h में) है:

    (a) 100(b) 80(c) 120(d) 90
    1

पूरे पेपर में 41 और प्रश्न

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अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट

CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:

प्रश्न प्रकारप्रति अंकहमारे बैंक में
बहुविकल्पीय (MCQ)1 अंक13
अभिकथन–कारण1 अंक6
लघु उत्तरीय2 अंक8
लघु उत्तरीय3 अंक6
दीर्घ उत्तरीय5 अंक5
केस स्टडी4 अंक6

इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।

महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)

अभ्यास व पुनरावृत्ति के लिए असली, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — हर प्रश्न उत्तर सहित। असीमित प्रश्नों के लिए पूरा प्रश्नपत्र बनाएँ।

  1. Q1. एक भिन्न के अंश में से 1 घटाने पर वह 1/3 हो जाती है और हर में 8 जोड़ने पर 1/4 हो जाती है। अंश का मान है:

    1 अंक
    बहुविकल्पीय (MCQ)
    (A) 5(B) 12(C) 3(D) 4
    ▸ उत्तर

    5

  2. Q2. यदि समीकरण युग्म (a-1)x + 3y = 5 और 6x + (2-b)y = 10 के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, तब (a+b) का मान है:

    1 अंक
    बहुविकल्पीय (MCQ)
    (A) 0(B) 4(C) -4(D) 8
    ▸ उत्तर

    0

  3. Q3. एक व्यक्ति 600 km की दूरी आंशिक रूप से रेलगाड़ी और शेष कार से तय करता है। यदि वह 400 km रेल से और 200 km कार से यात्रा करे तो उसे 6½ घंटे लगते हैं। यदि वह 200 km रेल से और 400 km कार से यात्रा करे तो उसे आधा घंटा अधिक लगता है। रेलगाड़ी की चाल (km/h में) है:

    1 अंक
    बहुविकल्पीय (MCQ)
    (A) 100(B) 80(C) 120(D) 90
    ▸ उत्तर

    100

  4. Q4. यदि दो रैखिक समीकरणों के युग्म में a1/a2 ≠ b1/b2 हो, तो उनके ग्राफ द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ होंगी:

    1 अंक
    बहुविकल्पीय (MCQ)
    (A) प्रतिच्छेदी(B) समांतर(C) संपाती(D) इनमें से कोई नहीं
    ▸ उत्तर

    प्रतिच्छेदी

  5. Q5. अभिकथन (A): k का वह मान जिसके लिए समीकरण युग्म kx + 3y = k - 3 और 12x + ky = k का कोई हल नहीं है, 6 है। कारण (R): असंगत युग्म के लिए a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 होता है।

    1 अंक
    अभिकथन–कारण
    (A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
    ▸ उत्तर

    अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

  6. Q6. समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10 के कितने हल हैं? कारण बताइए।

    2 अंक
    लघु उत्तरीय
    ▸ उत्तर

    अपरिमित रूप से अनेक हल।

  7. Q7. एक भिन्न के अंश और हर में 1 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाती है, और यदि हर में 1 जोड़ा जाए तो भिन्न 1/3 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

    2 अंक
    लघु उत्तरीय
    ▸ उत्तर

    भिन्न 2/5 है।

  8. Q8. एक आयत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 26 मीटर है, तो आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त, इसी परिमाप वाले एक वर्ग की भुजा ज्ञात करके बताइए कि आयत और वर्ग में से किसका क्षेत्रफल अधिक होगा और कितना अधिक होगा?

    3 अंक
    लघु उत्तरीय
    ▸ उत्तर

    आयत की विमाएँ 8 मी × 5 मी हैं; वर्ग की भुजा 6.5 मी है; वर्ग का क्षेत्रफल 2.25 मी² अधिक है।

  9. Q9. एक भिन्न के अंश में 2 जोड़ने और हर में 3 जोड़ने पर वह ½ हो जाती है। यदि अंश में 4 की वृद्धि और हर में 5 की कमी की जाए तो वह 2 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

    3 अंक
    लघु उत्तरीय
    ▸ उत्तर

    भिन्न 3/7 है।

  10. Q10. समीकरण युग्म को हल कीजिए: 1/(2x–3) + 1/(y+1) = 2, 3/(2x–3) – 2/(y+1) = –1 ।

    5 अंक
    दीर्घ उत्तरीय
    ▸ उत्तर

    x = 7/3, y = –2/7

  11. Q11. एक रेलगाड़ी एक निश्चित दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घंटा तेज चलती, तो यात्रा समय 2 घंटे कम लगता। यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घंटा धीमी चलती, तो यात्रा में 3 घंटे अधिक लगते। यात्रा की दूरी ज्ञात कीजिए।

    5 अंक
    दीर्घ उत्तरीय
    ▸ उत्तर

    600 किमी

  12. Q12. एक दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि संख्या में 27 जोड़ दिया जाए तो अंक पलट जाते हैं। मान लीजिए दहाई का अंक x तथा इकाई का अंक y है।

    4 अंक
    केस स्टडी
    1. (i) इस संख्या को x और y के पदों में व्यक्त कीजिए।1 अंक
    2. (ii) दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाइए।1 अंक
    3. (iii) वह संख्या ज्ञात कीजिए।2 अंक
    ▸ उत्तर

    उत्तर: (i) 10x + y (ii) x+y=9, 10x+y+27=10y+x (iii) 36

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के कितने संभावित हल हो सकते हैं?

एक रैखिक समीकरण युग्म का दो प्रकार से हल हो सकता है: अद्वितीय हल (रेखाएँ प्रतिच्छेदी), अनन्त हल (रेखाएँ संपाती), या कोई हल नहीं (रेखाएँ समांतर)।

वज्रगुणन विधि का सूत्र क्या है और इसका उपयोग किन स्थितियों में किया जाता है?

वज्रगुणन विधि का सूत्र है: x/(b1c2 - b2c1) = y/(c1a2 - c2a1) = 1/(a1b2 - a2b1), यदि हर शून्य न हो। यह तब उपयोगी है जब गुणांकों को आसानी से संख्याओं में न ढाला जा सके।

ग्राफीय विधि से समीकरण युग्म को हल करने के चरण क्या हैं?

सबसे पहले प्रत्येक समीकरण के लिए कम-से-कम तीन बिंदु ज्ञात करें, फिर आलेख खींचें। यदि रेखाएँ एक बिंदु पर मिलें तो वही हल है; यदि संपाती हों तो अनन्त हल; यदि समांतर हों तो कोई हल नहीं।

किसी रैखिक समीकरण युग्म के हल की प्रकृति ज्ञात करने के लिए गुणांक अनुपातों का उपयोग कैसे करें?

यदि a1/a2 ≠ b1/b2 तो अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी), a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 तो अनन्त हल (संपाती), और a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 तो कोई हल नहीं (समांतर)।

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