दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ किसी बिंदु P का बिंदुपथ क्या होता है?

AB का लंब समद्विभाजक

A और B से होकर जाने वाला वृत्त

A और B के मध्य बिंदु

दो बिंदु P और Q के लिए, P और Q से गुज़रने वाले वृत्तों के केंद्र रेखाखंड PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं। जैसे-जैसे हम केंद्र को लंब समद्विभाजक पर PQ से दूर ले जाते हैं, वृत्त की त्रिज्या पर क्या प्रभाव पड़ता है?

त्रिज्या बढ़ती है

त्रिज्या घटती है

त्रिज्या अपरिवर्तित रहती है

पहले बढ़ती फिर घटती है

एक वृत्त में दो जीवाएँ AB और CD केंद्र पर क्रमशः 70° और 70° के कोण अंतरित करती हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?

AB और CD के बीच संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता

अभिकथन (A): यदि किसी वृत्त की जीवा की लंबाई उसकी त्रिज्या के बराबर हो, तो वह जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। कारण (R): त्रिज्याओं और जीवा से बना त्रिभुज समबाहु हो जाता है, और समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।

अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।

अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।

दो बिंदुओं A और B से होकर जाने वाले सभी वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ क्या है? एक चित्र बनाकर समझाइए।

उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ जो A और B से समान दूरी पर हैं, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक होता है। अतः, A और B से होकर जाने वाले सभी वृत्तों के केंद्र रेखाखंड AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी और CA = 5 सेमी हैं। इस त्रिभुज का परिवृत्त खींचिए। परिकेंद्र की स्थिति बताइए और कारण दीजिए।

परिकेंद्र कर्ण AC के मध्य-बिंदु पर स्थित है।

एक वृत्त में 10 सेमी लंबाई की एक जीवा है। यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है, तो केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। यदि इसी वृत्त में एक दूसरी जीवा केंद्र से समान दूरी पर हो, तो उसकी लंबाई क्या होगी? कारण सहित बताइए।

केंद्र से जीवा की दूरी = 12 सेमी। दूसरी जीवा की लंबाई = 10 सेमी।

दो बिंदु P और Q के बीच की दूरी 8 सेमी है। P और Q से होकर जाने वाले सबसे छोटे संभव वृत्त की रचना कीजिए और उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। अपनी रचना के चरण भी लिखिए।

सबसे छोटे वृत्त की रचना जिसमें P और Q व्यास के अंत बिंदु हों। रचना के चरण: (1) रेखाखंड PQ = 8 सेमी खींचिए। (2) PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु O ज्ञात कीजिए। (3) O को केंद्र मानकर तथा OP त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए। यही अभीष्ट वृत्त है। त्रिज्या = 4 सेमी।

एक इंजीनियर को एक वृत्ताकार धातु की प्लेट पर तीन छिद्र A, B और C इस प्रकार बनाने हैं कि वे एक वृत्त की परिधि पर हों। प्लेट का केंद्र O है। इंजीनियर जीवा AB और BC खींचता है। वह देखता है कि जीवा AB = 8 सेमी, जीवा BC = 6 सेमी है और ∠ABC = 90° है। वह जानना चाहता है कि क्या ये तीनों बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित हैं। उसे बताया गया कि किसी भी असंरेख तीन बिंदुओं से एक वृत्त गुज़रता है, लेकिन यहाँ विशेष स्थिति है। (1) क्या बिंदु A, B और C एक ही वृत्त पर स्थित हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। (2) इस वृत्त का केंद्र O कहाँ होगा? (3) वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हाँ, तीनों बिंदु एक वृत्त पर हैं; केंद्र AC के मध्यबिंदु पर; त्रिज्या 5 सेमी।

कक्षा 9 गणित अध्याय 5: सममिति और वृत्त — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर

Q: अध्याय 5 में परावर्तन सममिति और घूर्णन सममिति में क्या अंतर है?

परावर्तन सममिति में आकृति को एक रेखा (दर्पण रेखा) के आर-पार पलटने पर दोनों भाग एक-दूसरे से मेल खाते हैं, जबकि घूर्णन सममिति में आकृति को एक निश्चित बिंदु (केंद्र) के चारों ओर आंशिक घुमाने पर वह अपनी मूल स्थिति जैसी दिखाई देती है।

Q: क्या वृत्त की सभी जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं?

नहीं, केवल बराबर लंबाई वाली जीवाएँ ही केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं। यह अध्याय का एक महत्त्वपूर्ण प्रमेय है।

Q: किसी त्रिभुज का परिवृत्त खींचने की सही विधि क्या है?

त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के लंब समद्विभाजक खींचें, उनका प्रतिच्छेद बिंदु परिकेंद्र होता है। इस बिंदु से किसी एक शीर्ष तक की दूरी त्रिज्या लेकर वृत्त खींचा जा सकता है।

Q: दो बिंदुओं से होकर जाने वाले वृत्तों के केंद्र हमेशा उन बिंदुओं के लंब समद्विभाजक पर क्यों होते हैं?

क्योंकि वृत्त के केंद्र से उसकी परिधि पर स्थित सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है, अतः केंद्र दोनों बिंदुओं से समान दूरी पर होना चाहिए, जो केवल रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर संभव है।

CBSE· Ganita Manjari· 44+ मौलिक प्रश्न तैयारView in English

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qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026

संक्षेप में उत्तर

हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 9 गणित अध्याय 5 (“सममिति और वृत्त”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।

कक्षा 9 के गणित में अध्याय 5, 'सममिति और वृत्त' (जिसे पुस्तक में 'मैं ऊपर-नीचे, और गोल-गोल' शीर्षक दिया गया है), ज्यामिति के दो महत्वपूर्ण पहलुओं को एक साथ प्रस्तुत करता है। इस अध्याय में विद्यार्थी परावर्तन सममिति (reflection symmetry) और घूर्णन सममिति (rotational symmetry) की गहरी समझ विकसित करते हैं। ऊपर-नीचे या दाएँ-बाएँ पलटने पर समान दिखने वाली आकृतियाँ, और एक निश्चित बिंदु पर न्यूनतम कोण घुमाने पर मूल स्थिति में आने वाली आकृतियों की पहचान यहाँ सिखाई जाती है। दूसरा भाग वृत्त की ज्यामिति पर केंद्रित है: वृत्त की त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप और केन्द्र से जीवा पर खींचे गये लंब के गुण। खास तौर पर, 'वृत्त की सबसे लंबी जीवा व्यास होती है', 'केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है', 'बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं' जैसे प्रमेय महत्त्वपूर्ण हैं। इसके अतिरिक्त, दो बिंदुओं से गुज़रने वाले वृत्तों के केंद्र का बिंदुपथ (locus) और त्रिभुज के परिवृत्त की रचना जैसी व्यावहारिक रचनाएँ भी शामिल हैं। परीक्षाओं में इस अध्याय से अक्सर बहुविकल्पीय प्रश्न (जैसे- वर्ग और वृत्त की घूर्णन सममिति की तुलना), लघु उत्तरीय प्रश्न (जैसे- क्या 10 सेमी त्रिज्या के वृत्त में 1:2 में विभाजित करने वाली जीवा संभव है?), और रचना आधारित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न पूछे जाते हैं। इन सभी अवधारणाओं पर नियमित अभ्यास और बहुआयामी प्रश्नों को हल करके छात्र इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त कर सकते हैं।

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गणित — सममिति और वृत्त

कक्षा 9समय: 3 घंटेअधिकतम अंक: 80

खंड क

1.
दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ किसी बिंदु P का बिंदुपथ क्या होता है?
(a) रेखाखंड AB(b) AB का लंब समद्विभाजक(c) A और B से होकर जाने वाला वृत्त(d) A और B के मध्य बिंदु
1
2.
यदि एक वृत्त में एक जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो वह जीवा केंद्र पर कितने अंश का कोण अंतरित करती है?
(a) 30°(b) 45°(c) 60°(d) 90°
1
3.
दो बिंदु P और Q के लिए, P और Q से गुज़रने वाले वृत्तों के केंद्र रेखाखंड PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं। जैसे-जैसे हम केंद्र को लंब समद्विभाजक पर PQ से दूर ले जाते हैं, वृत्त की त्रिज्या पर क्या प्रभाव पड़ता है?
(a) त्रिज्या बढ़ती है(b) त्रिज्या घटती है(c) त्रिज्या अपरिवर्तित रहती है(d) पहले बढ़ती फिर घटती है
1

पूरे पेपर में 41 और प्रश्न

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अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट

CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:

प्रश्न प्रकार	प्रति अंक	हमारे बैंक में
बहुविकल्पीय (MCQ)	1 अंक	13
अभिकथन–कारण	1 अंक	6
लघु उत्तरीय	2 अंक	8
लघु उत्तरीय	3 अंक	6
दीर्घ उत्तरीय	5 अंक	5
केस स्टडी	4 अंक	6

इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।

महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)

अभ्यास व पुनरावृत्ति के लिए असली, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — हर प्रश्न उत्तर सहित। असीमित प्रश्नों के लिए पूरा प्रश्नपत्र बनाएँ।

Q1. दो दिए गए बिंदुओं A और B से समदूरस्थ किसी बिंदु P का बिंदुपथ क्या होता है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) रेखाखंड AB(B) AB का लंब समद्विभाजक(C) A और B से होकर जाने वाला वृत्त(D) A और B के मध्य बिंदु
▸ उत्तर▾ उत्तर
AB का लंब समद्विभाजक
Q2. यदि एक वृत्त में एक जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो वह जीवा केंद्र पर कितने अंश का कोण अंतरित करती है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 90°
▸ उत्तर▾ उत्तर
60°
Q3. दो बिंदु P और Q के लिए, P और Q से गुज़रने वाले वृत्तों के केंद्र रेखाखंड PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं। जैसे-जैसे हम केंद्र को लंब समद्विभाजक पर PQ से दूर ले जाते हैं, वृत्त की त्रिज्या पर क्या प्रभाव पड़ता है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) त्रिज्या बढ़ती है(B) त्रिज्या घटती है(C) त्रिज्या अपरिवर्तित रहती है(D) पहले बढ़ती फिर घटती है
▸ उत्तर▾ उत्तर
त्रिज्या बढ़ती है
Q4. एक वृत्त में दो जीवाएँ AB और CD केंद्र पर क्रमशः 70° और 70° के कोण अंतरित करती हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
1 अंक
बहुविकल्पीय (MCQ)
(A) AB > CD(B) AB < CD(C) AB = CD(D) AB और CD के बीच संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता
▸ उत्तर▾ उत्तर
AB = CD
Q5. अभिकथन (A): यदि किसी वृत्त की जीवा की लंबाई उसकी त्रिज्या के बराबर हो, तो वह जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। कारण (R): त्रिज्याओं और जीवा से बना त्रिभुज समबाहु हो जाता है, और समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
1 अंक
अभिकथन–कारण
(A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।
▸ उत्तर▾ उत्तर
अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।
Q6. एक त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं। इसके परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
5 सेमी
Q7. किसी वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है। एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
2 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
13 सेमी
Q8. दो बिंदुओं A और B से होकर जाने वाले सभी वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ क्या है? एक चित्र बनाकर समझाइए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ जो A और B से समान दूरी पर हैं, रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक होता है। अतः, A और B से होकर जाने वाले सभी वृत्तों के केंद्र रेखाखंड AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।
Q9. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी और CA = 5 सेमी हैं। इस त्रिभुज का परिवृत्त खींचिए। परिकेंद्र की स्थिति बताइए और कारण दीजिए।
3 अंक
लघु उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
परिकेंद्र कर्ण AC के मध्य-बिंदु पर स्थित है।
Q10. एक वृत्त में 10 सेमी लंबाई की एक जीवा है। यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है, तो केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। यदि इसी वृत्त में एक दूसरी जीवा केंद्र से समान दूरी पर हो, तो उसकी लंबाई क्या होगी? कारण सहित बताइए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
केंद्र से जीवा की दूरी = 12 सेमी। दूसरी जीवा की लंबाई = 10 सेमी।
Q11. दो बिंदु P और Q के बीच की दूरी 8 सेमी है। P और Q से होकर जाने वाले सबसे छोटे संभव वृत्त की रचना कीजिए और उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। अपनी रचना के चरण भी लिखिए।
5 अंक
दीर्घ उत्तरीय
▸ उत्तर▾ उत्तर
सबसे छोटे वृत्त की रचना जिसमें P और Q व्यास के अंत बिंदु हों। रचना के चरण: (1) रेखाखंड PQ = 8 सेमी खींचिए। (2) PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु O ज्ञात कीजिए। (3) O को केंद्र मानकर तथा OP त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए। यही अभीष्ट वृत्त है। त्रिज्या = 4 सेमी।
Q12. एक इंजीनियर को एक वृत्ताकार धातु की प्लेट पर तीन छिद्र A, B और C इस प्रकार बनाने हैं कि वे एक वृत्त की परिधि पर हों। प्लेट का केंद्र O है। इंजीनियर जीवा AB और BC खींचता है। वह देखता है कि जीवा AB = 8 सेमी, जीवा BC = 6 सेमी है और ∠ABC = 90° है। वह जानना चाहता है कि क्या ये तीनों बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित हैं। उसे बताया गया कि किसी भी असंरेख तीन बिंदुओं से एक वृत्त गुज़रता है, लेकिन यहाँ विशेष स्थिति है।
4 अंक
केस स्टडी
1. (i) क्या बिंदु A, B और C एक ही वृत्त पर स्थित हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।2 अंक
2. (ii) इस वृत्त का केंद्र O कहाँ होगा?1 अंक
3. (iii) वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।1 अंक
▸ उत्तर▾ उत्तर
हाँ, तीनों बिंदु एक वृत्त पर हैं; केंद्र AC के मध्यबिंदु पर; त्रिज्या 5 सेमी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अध्याय 5 में परावर्तन सममिति और घूर्णन सममिति में क्या अंतर है?

परावर्तन सममिति में आकृति को एक रेखा (दर्पण रेखा) के आर-पार पलटने पर दोनों भाग एक-दूसरे से मेल खाते हैं, जबकि घूर्णन सममिति में आकृति को एक निश्चित बिंदु (केंद्र) के चारों ओर आंशिक घुमाने पर वह अपनी मूल स्थिति जैसी दिखाई देती है।

क्या वृत्त की सभी जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं?