कक्षा 9 गणित अध्याय 4: बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज — महत्वपूर्ण प्रश्न व नमूना पेपर
उत्तर सहित महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्नों का अभ्यास करें, CBSE अंक-विभाजन व ब्लूप्रिंट देखें, या पूरा नमूना प्रश्नपत्र बनाएँ — मुफ़्त, 2026-27 के लिए।
qpaper की CBSE पाठ्यक्रम टीम द्वारा समीक्षित · संपादन: Mohit · अपडेट: जून 2026
संक्षेप में उत्तर
हाँ — इस पृष्ठ पर कक्षा 9 गणित अध्याय 4 (“बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज”) के 44+ मौलिक महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित हैं (बहुविकल्पीय (MCQ), अभिकथन–कारण, लघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय, दीर्घ उत्तरीय, केस स्टडी)। इन्हें मुफ़्त हल करें, या पूरा CBSE बोर्ड-पैटर्न नमूना प्रश्नपत्र (80 अंक) बनाकर PDF या Word में निर्यात करें — हिंदी व अंग्रेज़ी में, 2026-27 के लिए।
कक्षा 9 की गणित की पुस्तक 'गणित मंजरी' के अध्याय 4 'बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज' में छात्र बीजीय व्यंजकों के विस्तार और गुणनखंडन से संबंधित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाओं (algebraic identities) को सीखते हैं। इस अध्याय में मुख्य रूप से तीन वर्ग सर्वसमिकाएँ — (a + b)² = a² + 2ab + b², (a – b)² = a² – 2ab + b², और a² – b² = (a + b)(a – b) — का गहन अध्ययन किया जाता है। इसके अतिरिक्त, तीन पदों के योग का वर्ग (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca वाली सर्वसमिका और इस पर आधारित अन्य सर्वसमिकाएँ भी शामिल हैं। छात्र इन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके जटिल बीजीय व्यंजकों का सरलीकरण करना, व्यंजकों का प्रसार करना, गुणनखंड निकालना, तथा शर्तों पर आधारित मान ज्ञात करना सीखते हैं। उदाहरण के लिए, x + 1/x = 5 दिया होने पर x² + 1/x² का मान निकालना, या सर्वसमिकाओं की सहायता से बड़ी संख्याओं का वर्ग निकालना जैसे प्रश्न परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाते हैं। इस अध्याय में न केवल सर्वसमिकाओं को सिद्ध करना, बल्कि उन्हें व्यावहारिक समस्याओं में लागू करना भी सिखाया जाता है। सीबीएसई परीक्षाओं में इस चैप्टर से 3-4 अंकों के प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें सर्वसमिकाओं का प्रयोग, गुणनखंडन, तथा मान ज्ञात करने वाले प्रश्न शामिल होते हैं।
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गणित — बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज
खंड क
- 1.1
यदि a + b + c = 9 और ab + bc + ca = 26 हो, तो a^2 + b^2 + c^2 का मान ज्ञात कीजिए।
(a) 29(b) 81(c) 27(d) 23 - 2.1
x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy - 12yz - 6zx के गुणनखंड कीजिए।
(a) (x + 2y - 3z)^2(b) (x - 2y + 3z)^2(c) (x + 2y + 3z)^2(d) (x - 2y - 3z)^2 - 3.1
(7a + 3b)(7a - 3b) का मान ज्ञात करें।
(a) 49a^2 - 9b^2(b) 49a^2 + 9b^2(c) 7a^2 - 3b^2(d) 49a^2 - 3b^2
पूरे पेपर में 41 और प्रश्न
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CBSE परीक्षा में यह अध्याय आमतौर पर निम्न प्रकार के प्रश्न देता है। अंतिम कॉलम बताता है कि इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में हर प्रकार के कितने मौलिक प्रश्न तैयार हैं:
| प्रश्न प्रकार | प्रति अंक | हमारे बैंक में |
|---|---|---|
| बहुविकल्पीय (MCQ) | 1 अंक | 13 |
| अभिकथन–कारण | 1 अंक | 6 |
| लघु उत्तरीय | 2 अंक | 8 |
| लघु उत्तरीय | 3 अंक | 6 |
| दीर्घ उत्तरीय | 5 अंक | 5 |
| केस स्टडी | 4 अंक | 6 |
इस अध्याय के लिए हमारे बैंक में 44 मौलिक, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — उत्तर सहित।
महत्वपूर्ण व नमूना प्रश्न (उत्तर सहित)
अभ्यास व पुनरावृत्ति के लिए असली, परीक्षा-स्तरीय प्रश्न — हर प्रश्न उत्तर सहित। असीमित प्रश्नों के लिए पूरा प्रश्नपत्र बनाएँ।
- बहुविकल्पीय (MCQ)
Q1. यदि a + b + c = 9 और ab + bc + ca = 26 हो, तो a^2 + b^2 + c^2 का मान ज्ञात कीजिए।
1 अंक(A) 29(B) 81(C) 27(D) 23▸ उत्तर▾ उत्तर
29
- बहुविकल्पीय (MCQ)
Q2. x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy - 12yz - 6zx के गुणनखंड कीजिए।
1 अंक(A) (x + 2y - 3z)^2(B) (x - 2y + 3z)^2(C) (x + 2y + 3z)^2(D) (x - 2y - 3z)^2▸ उत्तर▾ उत्तर
(x + 2y - 3z)^2
- बहुविकल्पीय (MCQ)
Q3. (7a + 3b)(7a - 3b) का मान ज्ञात करें।
1 अंक(A) 49a^2 - 9b^2(B) 49a^2 + 9b^2(C) 7a^2 - 3b^2(D) 49a^2 - 3b^2▸ उत्तर▾ उत्तर
49a^2 - 9b^2
- बहुविकल्पीय (MCQ)
Q4. (5m - 2n)^2 का विस्तार है:
1 अंक(A) 25m^2 - 20mn + 4n^2(B) 25m^2 - 10mn + 4n^2(C) 25m^2 - 20mn - 4n^2(D) 25m^2 - 20mn + 2n^2▸ उत्तर▾ उत्तर
25m^2 - 20mn + 4n^2
- अभिकथन–कारण
Q5. अभिकथन (A): (a+b+c)^2 का प्रसार a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca है। कारण (R): (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 एक सर्वसमिका है।
1 अंक(A) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं तथा कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या है।(B) अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।(C) अभिकथन (A) सही है परन्तु कारण (R) गलत है।(D) अभिकथन (A) गलत है परन्तु कारण (R) सही है।▸ उत्तर▾ उत्तर
अभिकथन (A) और कारण (R) दोनों सही हैं परन्तु कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।
- लघु उत्तरीय
Q6. (2a + 3b – c)² का विस्तार कीजिए।
2 अंक▸ उत्तर▾ उत्तर
4a² + 9b² + c² + 12ab – 4ac – 6bc
- लघु उत्तरीय
Q7. यदि x + 1/x = 4 हो, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।
2 अंक▸ उत्तर▾ उत्तर
14
- लघु उत्तरीय
Q8. यदि x - 1/x = 3 हो, तो x^4 + 1/x^4 का मान ज्ञात कीजिए।
3 अंक▸ उत्तर▾ उत्तर
119
- लघु उत्तरीय
Q9. सरल कीजिए: (2x + 3y + 4z)^2 - (2x - 3y + 4z)^2
3 अंक▸ उत्तर▾ उत्तर
24xy + 48yz
- दीर्घ उत्तरीय
Q10. यदि x + 1/x = 3 हो, तो x^2 + 1/x^2 तथा x^4 + 1/x^4 के मान ज्ञात कीजिए।
5 अंक▸ उत्तर▾ उत्तर
x^2 + 1/x^2 = 7; x^4 + 1/x^4 = 47
- दीर्घ उत्तरीय
Q11. यदि a, b और c तीन क्रमागत विषम पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि a^2 + b^2 + c^2 + 1, 4 से विभाज्य है।
5 अंक▸ उत्तर▾ उत्तर
a^2 + b^2 + c^2 + 1, 4 से विभाज्य है।
- केस स्टडी
Q12. गीता कुछ बड़ी संख्याओं के वर्गों का अंतर बिना सीधे गुणा किए निकालना चाहती है। उसे याद आता है कि a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) सर्वसमिका उपयोगी हो सकती है।
4 अंक- (i) (a) उपरोक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके 152^2 – 148^2 का मान ज्ञात कीजिए।1 अंक
- (ii) (b) सिद्ध कीजिए कि (2n + 1)^2 – (2n – 1)^2 = 8n, जहाँ n कोई पूर्णांक है।2 अंक
- (iii) (c) भाग (b) के परिणाम का प्रयोग करके 31^2 – 29^2 का मान ज्ञात कीजिए।1 अंक
▸ उत्तर▾ उत्तर
(a) 1200, (b) सिद्ध (देखें समाधान), (c) 120
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
इस अध्याय में कौन-कौन सी प्रमुख सर्वसमिकाएँ आती हैं?
प्रमुख सर्वसमिकाएँ: (a+b)² = a²+b²+2ab, (a-b)² = a²+b²-2ab, a²-b² = (a+b)(a-b), (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca, और (x+1/x)² = x²+1/x²+2 आदि।
सीबीएसई परीक्षा में इस चैप्टर से किस प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं?
सर्वसमिकाएँ सिद्ध करना, दिए गए मानों से व्यंजकों का मान ज्ञात करना, गुणनखंड निकालना, और बीजीय व्यंजकों का प्रसार करने जैसे प्रश्न आते हैं।
x + 1/x = 5 हो तो x² + 1/x² का मान कैसे निकालें?
सूत्र (x+1/x)² = x² + 1/x² + 2 लगाएँ: 5² = x²+1/x²+2 → 25 = x²+1/x²+2 → x²+1/x² = 23.
बड़ी संख्याओं का वर्ग निकालने के लिए कौन सी सर्वसमिका उपयोगी है?
संख्याओं को तोड़कर (a+b)² या (a-b)² का उपयोग करें, जैसे 102² = (100+2)² = 10000+400+4 = 10404.